↑ Một số nguyên tố có 44 chữ số do Aimé Ferrier tìm ra vào năm 1951 đến nay vẫn là số nguyên tố lớn nhất được tìm thấy mà không có sự hỗ trợ của máy tính điện tử.[28]
1 2 Chẳng hạn, Beiler viết rằng nhà lý thuyết số Ernst Kummer thích số i-đê-an, một loại số có liên hệ gần với số nguyên tố do ông phát triển, "vì chúng không tự làm bẩn chính mình với bất kỳ ứng dụng thực tế nào",[30] và Katz viết rằng Edmund Landau, người được biết đến với công trình về sự phân phối các số nguyên tố, "không thích ứng dụng thực tế của toán học", và vì lý do đó nên ông tránh một số chủ đề như hình học, vốn đã được xem là có ích trong thực tiễn.[31]
↑ Trong kiểm tra này, số hạng ± 1 {\displaystyle \pm 1} là âm nếu a {\displaystyle a} là một số chính phương mô đun số (giả sử) nguyên tố p {\displaystyle p} đã cho, và là dương trong trường hợp còn lại. Tổng quát hơn, với giá trị p {\displaystyle p} không nguyên tố, số hạng ± 1 {\displaystyle \pm 1} là ký hiệu Jacobi (phủ định), có thể được tính bằng luật tương hỗ bậc hai.
↑ Thật vậy, đa số phân tích về phép chứng minh tính nguyên tố bằng đường cong elliptic đều dựa trên giả thiết rằng đầu vào của nó đã vượt qua được một thuật toán xác suất.[131]
↑ Hàm giai thừa nguyên tố của n {\displaystyle n} , ký hiệu là n # {\displaystyle n\#} , cho giá trị tích của các số nguyên tố lớn đến n {\displaystyle n} , và một số nguyên tố giai thừa nguyên tố là số nguyên tố thuộc một trong các dạng n # ± 1 {\displaystyle n\#\pm 1} .[51]
↑ Boklan & Conway (2017) còn liệt kê thêm số 2 0 + 1 = 2 {\displaystyle 2^{0}+1=2} , một số không theo đúng dạng số Fermat.
